1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 1

Найдите сумму цифр числа A, если A=263 · 425 · 5106-222 · 444 · 5105-1.
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 2

Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заве
Очень сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 3

Решите неравенство operatorname{tg}arccos x≤ sinoperatorname{arctg}x.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 4

Точки A и B лежат на окружности с центром O и радиусом 6, а точка C равноудалена от точек A,B и O. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника ACO. Найдите BQ.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 5

Найдите все значения a, для каждого из которых при любом x наибольшее из двух чисел x3+3x+a-9 и a+25-x-3x-1 положительно.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 6

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть -- по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой -- 90 км/ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфаль
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 7

Куб с ребром a=√(2+√3) освещается цилиндрическим лучом света радиуса ρ=√2, направленным вдоль главной диагонали куба (ось луча содержит главную диагональ). Найдите площадь освещенной части поверхности куба.
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 8

Известно, что m,n,k -- различные натуральные числа, большие 1, число logm n рационально, и, кроме того, k√(logm n)=m√(logn k). Найдите минимальное из возможных значений суммы k+5m+n.
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел

10 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 1

Вычислите √(1+2sqrt{1+3sqrt{1+ldots+2017sqrt{1+2018 · 2020)}}}.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 2

Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распилили параллельно граням на кубики со стороной 1 см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окраш
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 3

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 4

На графике функции y=x+frac1x, где x>0, найдите точку, ближайшую к началу координат.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 5

Докажите, что уравнение sin(2020x)+cos(2020x)=(x/5050) +1 имеет по крайней мере 8000 корней, принадлежащих отрезку [-2π;2π].
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 6

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 7

Функция f, заданная на множестве целых чисел, удовлетворяет условиям: 1) f(1)+1>0; 2) f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-xy+xy при любых x,y∈mathbb Z; 3) 2f(x)=f(x+1)-x+1 при любых x∈mathbb Z. Найдите f(10).
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 8

Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа 0,1,2,ldots,7,8,7,6,ldots,2,1. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остано
Очень сложная
Комбинаторика

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 1

Вычислите √(1+2sqrt{1+3sqrt{1+ldots+2017sqrt{1+2018 · 2020)}}}.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 2

Сколькими способами можно прочитать слово «РОТОР», двигаясь по буквам рисунка, если возвращаться по пути к пройденным буквам нельзя, а прочтения, отличающиеся только направлением, считаются одинаковыми? | | | | | | |---|---|---|---|---| | mathrm{P} | mathrm{O} | mathrm{T} | mathrm{O} | mathrm{P} | |
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 3

В трапеции ABCD диагональ AC равна 1 и является одновременно её высотой. Из точек A и C к сторонам CD и AB соответственно проведены перпендикуляры AE и CF. Найдите AD, если AD=CF и BC=CE.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 4

На графике функции y=x+frac1x, где x>0, найдите точку, ближайшую к началу координат.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 5

Вовочка складывает трёхзначные числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы 248+208 он получил бы значение 4416. Найдите наименьшую возможную положительную разность между ответо
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 6

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 7

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 8

Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа 0,1,2,ldots,7,8,7,6,ldots,2,1. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остано
Сложная
Комбинаторика