Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 6
Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть -- по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна км/ч, а на асфальтовой -- км/ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна км/ч, а на асфальтовой -- км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?
Ответ: Нива на своём -м круге обгонит Тойоту на её -м круге.
Решение. Пусть км -- длина грунтовой части трассы, тогда км -- длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за
а Тойота -- за
Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдет вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше.
Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет целых кругов и ещё расстояние , где (если , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно , а время Нивы будет равно . Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение
откуда , или . Поскольку , отсюда следует, что или . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет полных кругов и перейдёт на -й, а Нива проедет полных кругов и перейдет на -й.