Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 7
В-1 Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида , где . Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен см. Размер тетрадной страницы (высота ширина) равен мм. Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).
Ответ:
Решение. Рассотрим сначала фигуру, образованную параболами
Площадь четырехугольника будет
Теперь посмотрим на четырехугольники, образованные следущими параболами:
где . Посмотрим на точки пересечения каждой из таких парабол.
Четырехугольники, получаемые Вовочкой - дельтоиды. Одна из диагоналей (вертикальная) у всех из-за параллельного переноса равна . Посчитаем вторую диагональ
Рассмотрим функцию
Получим, что площади таких четырехугольников с увеличением уменьшаются (вычисление производной - не единственный способ установить убывание функции). Значит, нужно вычислить площадь первого четырехугольника.
Его площадь, так как он дельтоид, равна половине произведения диагоналей.
Эта площадь меньше той, что найдена в самом начале, так что наибольшей площадью остаётся . В задаче , поэтому ответ .
Критерии проверки: Правильно подсчитана площадь четырёхугольника при , но нет обоснования его максимальности . Есть правильные мысли, но формы четырёхугольников (т. е. точки пересечения парабол) найдены неверно .