В-1 В множество A входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество A и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шес
Очень сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 3
В-1 Пусть F - множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю 5. Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат F, а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 4
В-1 На прямоугольной полоске 0≤ x≤1, -1≤ y≤1 построили графики функций y=sin kπ x для всех k∈{11,13,17}. На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 5
В-1 Три графика параболы y=Cx2 повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1. Треугольник
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 6
В-1 Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию: Вид сверху: забор и траектория светлячка Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки A в точку B (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённо
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 7
В-1 Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида y=pm x2+c, где c∈mathbb Z. Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Разме
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 8
В-1 При каких значениях параметра a множество решений неравенства 3x2loga x-logx a-2x≥0 (относительно неизвестной x) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна 2026. Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.
Очень сложная
Стереометрия
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 2
Дан клетчатый квадрат 101 × 101 с занумерованными клетками. Из него нужно вырезать клетчатый прямоугольник меньшего размера так, чтобы квадрат не распался на две части и у оставшейся фигуры не было дырки внутри. Разрезы можно проводить только по линиям сетки. Сколькими способами можно это сделать?
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 3
Дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром в точке O. Угол angle C=30circ. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону AB — получилась точка O'. Точку, диаметрально противоположную точке A, симметрично отразили относительно прямой, содержащей с
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 4
При каких значениях параметра a множество решений неравенства frac{a2x-3ax+1+2a2}{log2 a}≥0 (относительно неизвестной x) представляет собой отрезок длиной 2026?
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 5
Найдите наибольшее значение произведения operatorname{tg}xoperatorname{tg}yoperatorname{tg}z, где 0
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 6
В треугольнике ABC равны углы angle A=angle C=32circ. Внутри треугольника выбрана такая точка O, что угол BCO в 2 раза больше угла BAO, а угол OBC в 3 раза больше угла ABO. Во сколько раз угол BOA больше, чем угол BAO?
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 7
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, н
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 8
Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона). С ка
В круге радиуса 5 три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 2
Найдите все четырёхзначные натуральные числа n, обладающие свойством, что первые несколько цифр числа n2 образуют число n. Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.
Сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 3
Пусть F -- множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат F, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.
Сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 4
В неравнобедренном треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна биссектрисе BL. Найдите все возможные значения периметра треугольника ABC, если длина стороны AB равна 7, а длины двух других сторон выражаются целыми числами.
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 5
Агриппина гоняет в школу на самокате, по тротуару -- но на её пути есть два пешеходных перехода со светофорами. От дома до первого перехода расстояние 50 метров, ширина первого перехода равна 30 метров, потом до следующего перехода ей надо ехать 120 метров, второй переход шириной 10 метров -- а там
Сложная
Алгебра
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 6
При каких значениях параметра a множество решений неравенства frac1a+(2x/a2) -(3x2/a3) ≤0 (относительно неизвестной x) представляет собой отрезок длиной 2026?
Сложная
Алгебра
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 7
Дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром в точке O. Угол angle C=30circ. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону AB -- получилась точка O'. Точку, диаметрально противоположную точке A, симметрично отразили относительно прямой, содержащей
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 8
Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона). С ка
