Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 4
При каких значениях параметра множество решений неравенства
(относительно неизвестной ) представляет собой отрезок длиной ?
Ответ: при .
Решение. Преобразуем данное неравенство:
Последнее неравенство равносильно совокупности
Изобразим множество решений последней совокупности в осях :
Множество решений исходного неравенства относительно при фиксированном есть проекция на ось пересечения изображённой на рисунке области с прямой . Ясно, что при это множество будет состоять из двух лучей, значения и не входят в область допустимых значений в исходном неравенстве, а при множеством решений будет отрезок с концами и . Длина этого отрезка равна , откуда .
Критерии проверки: За арифметические ошибки (например, за неправильно рассчитанную длину отрезка) в рассуждениях, которые верно разграничивают качественно разные случаи (что при решение отрезок, а при решение состоит из двух лучей) . За попытки преобразовать выражение, в которых не учтена зависимость логарифма, или степеней от (скажем, перепутан знак в неравенстве с логарифмом, когда ) .