Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 6
В-1 Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию:
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте метров из точки в точку (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ответ:
Решение. Сначала нужно понять размеры тени. Воткнём в пустырь столбик высотой , разместим светлячка на высоте в произвольном месте и посмотрим на происходящее сбоку:
В данный момент тень - это отрезок . Заметим подобие и . Из этого подобия следует, что если , то . Значит, если светлячок высоты, и забор тоже постоянной высоты, то не меняется, и расстояние короче расстояния в фиксированное число раз, не зависящее от того, как далеко находится источник света.
То есть, если светило летит по вектору , то тень от макушки столбика будет двигаться по вектору , который подобен с коэффициентом (в нашем случае) .
Например, находящаяся в опора забора за время бросает тень на точки синего треугольника (см. рисунок). На следующем рисунке - то, что загородил столбец в точке (зелёная стрелка) и общая площадь заслонённого забором (серая область).
Значит, ответ - площадь серого пятиугольника, одна сторона которого - забор, а три оставшиеся вершины это , , . Координаты всех его вершин известны, найти его площадь - дело техники. Она равна .
Критерии проверки: Описывающий тень многоугольник найден верно, но при подсчёте его площади совершена арифметическая ошибка . Неправильно определена форма затенённой области (например, взята тень забора в конкретный момент времени) .