Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

Ответ:

Решение. Перенесём треугольник одной вершиной в начало координат. Тогда его можно представлять как точку , из которой выходят вектора и (аналогичные вектора во всех вариантах, отличаются перестановкой координат).
Тогда внутренность треугольника можно представить как , где , - действительные числа, , , и . Вопрос о целых точках на треугольнике, получается, стоит так: при каких целых , , система

имеет решения , , укладывающиеся в требования выше.
Мы выделили внутренность, потому что стороны легче рассмотреть отдельно. Три целочисленные вершины лежат в треугольнике по определению. На сторонах точки подсчитать тоже просто - стороны это вектора , , и третья сторона . Получить целочисленную точку можно только на середине вектора , а у остальных сторон нет общих делителей координат, и через целые точки они не проходят. Значит, на периметре лежат точки.
Переходим к внутренней части треугольника. Вообще, конечно, нет гарантий, что там будет хотя бы одна целочисленная точка - но если такая есть, то её проекции на координатные плоскости тоже будут целочисленные. Поэтому давайте рассмотрим проекцию треугольника на плоскость , и отберём на ней потенциально подходящие пары , а после выкинем лишние.
Вообще проецировать треугольник можно на разные плоскости, и наш выбор определяется тем, на какой из них точек будет меньше.
Проецируем треугольник на - получается треугольник на плоскости с вершинами , , . Внутрь него точки попадут такие: , , , , , , , .
Решаем систему, состоящую из двух первых уравнений:

Ответ будет такой:

Полученные значения , подставляются в третье уравнение , и если оказывается целым - точка найдена. После подстановки получается выражение

то есть должна быть чётной. Из кандидатов подойдут только :

Плюс точки, и всего точек на треугольнике .