В-1 Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» - игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 2
В-1 Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг - одна от окружности с центром в (0; 0), проходящей через (0; 1), другая - от окружности с центром в (1; 0), проходящей через (0; 1). Полумесяц к условию задачи 2 К утру краска расплылась так, что к
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 3
В-1 Решите систему уравнений
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 4
В-1 Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на 180circ. По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что люб
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 5
В-1 Функция y = f(x) такова, что f((x + 1/x - 1)) = (1/x - 1). Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции g(x) = underbrace{f(f(ldots f(x)))}10 в точке x = 0.
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 6
В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью Ox и графиком некоторой параболы y = a - bx2). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками - на параболе отметили точ
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 7
В-1 Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Найти наибольшее 100-значное натуральное число n, удовлетворяющее условию: для всех натуральных m (1 ≤ m ≤ n) справедливы равенства S(mn) = S(n).
Очень сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8
В-1 Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами (3, 4, 5), (11, 10, 6), (5, 8, 9)? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
В-1 Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» - игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 2
В-1 Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг - одна от окружности с центром в (0; 0), проходящей через (0; 1), другая - от окружности с центром в (1; 0), проходящей через (0; 1). Полумесяц к условию задачи 2 К утру краска расплылась так, что к
В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15circ, angle MBN = 45circ и angle NBC = 75circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 5
В-1 Найдите минимальное значение выражения (2bc - 2a2 + 2a/2a) +2ca - 2b2 + 2b/2b + (2ab - 2c2 + 2c/2c), a, b, c > 0.
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 6
В-1 Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на 180circ. По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что люб
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7
В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью Ox и графиком некоторой параболы y = a - bx2). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками - на параболе отметили точ
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия
Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 8
В-1 Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Найти наибольшее 100-значное натуральное число n, удовлетворяющее условию: для всех натуральных m (1 ≤ m ≤ n) справедливы равенства S(mn) = S(n).
В-1 Различные целые числа m и n таковы, что числа ((1/m) - 2) и ((1/n) - 2) являются корнями квадратного трехчлена x2 + ax + b с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения a + b.
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 2
В-1 Бросается стандартная игральная кость (кубик, от 1 до 6 очков на грани, сумма очков на противоположных гранях равна семи). После броска записываем результат, перекатываем кубик случайным образом на одну из соседних граней, записываем новый результат, потом снова случайно перекатываем кубик на од
В-1 В кино пришли 5 девочек, 3 мальчика и учительница. Все они расселись в первом ряду, в котором места пронумерованы от 1 до 10. По пути в кинотеатр 5 девочек начали активно общаться, и учительница решила, что сажать их рядом небезопасно. Между любыми двумя девочками должно быть минимум одно место:
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 5
В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15circ, angle MBN = 45circ и angle NBC = 75circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.
Сложная
Алгебра
Планиметрия
Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 6
В-1 В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки. a) Какого минимального объёма должен быть кувшин,
Сложная
Алгебра
Комбинаторика
Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 7
В-1 Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Кольцевые трассы к задаче 7 Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на 180circ. По каждой из трех трасс автомобиль едет со
