Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 6
В-1 В кувшин залили литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки.
a) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
b) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее, чем на процента?
Ответ: литров, -й день.
Решение. Пусть в начале в кувшин налили литров воды, по прошествии каждых суток оставалось процентов имевшейся на начало суток воды, и доливалось литров воды. Обозначим через количество воды в кувшине после долива очередных литров в -тый день. Тогда
Таким образом, поскольку во всех задачах выполнено условие , , кувшин никогда не наполнится, если его объём будет не менее литров. В условиях задачи , а , поэтому .
Ответом на второй вопрос задачи будет наименьшее натуральное решение неравенства
То есть
Такой логарифм больше , но меньше (т.е. ), так что равно .