Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 4
В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на центральном квадратике одной из его граней, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения был выбран произвольно, а затем жучок следовал таким правилам:
-
При -м, -м и других четных перемещениях жучок не менял направления своего движения, т. е. покидал квадратик через сторону, противоположную той, через которую он на этот квадратик попал;
-
При -м, -м и других нечетных перемещениях жучок поворачивал направо (относительно своего движения).
Завершил жучок свое движение через с после его начала. Через сколько секунд после начала движения жучок впервые оказался на том квадратике, на котором он в конце остановился?
Ответ: с
Решение. Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, -я и -я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица -- ширина квадратика):
Взяв в качестве отправного квадратик , а в качестве первого перемещения -- , запишем маршрут за первые с:
| Время (с) | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Квадратик | |||||||||||||||
| Время (с) | |||||||||||||||
| Квадратик |
Как видим, через с жучок окажется в исходной точке, будет двигаться в том же направлении (на квадратик ), причем четность и совпадают. Поэтому дальнейшее движение жучка будет периодически повторять движение первых с. Так как (остаток от деления на равен ), то через с жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала движения, т. е. на квадратике . Как следует из таблицы, впервые на этом квадратике жучок оказался через с после начала движения.
Критерии проверки: Перебор с верным ответом 15 Перебор без верного ответа 5