В-1 Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна -- длину 1, а его площадь -- наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 5
В-1 Обозначим через s(n) число цифр в десятичной записи натурального числа n. Найдите сумму s(22023) + s(52023)
Очень сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 6
В-1 Дана последовательность {an}, в которой a1 = 19, а отношение каждого следующего элемента к предыдущему при всех целых n ≥ 2 равно (an/an - 1) = ((n2 + 1) · n/(n - 1)2 + 1). Найдите отношение 2023-го члена последовательности к сум
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 7
В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на одном из его 54 квадратиков, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения б
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 8
В-1 Два ряда точек к задаче 8 Есть два ряда -- верхний и нижний, каждый из 6 точек (см. рисунок). Проводят отрезки с концами в противоположных рядах так, чтобы из каждой точки выходил ровно один отрезок. Сколько существует способов провести отрезки, чтобы среди всех пар отрезков было ровно 7 пар пер
В-1 Вычислите [√(45 - sqrt{2023)} - √(45 + sqrt{2023)}], где [t] -- это целая часть числа t (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее t).
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2
В-1 При каком наименьшем по модулю значении параметра α уравнение 1234sin20(x - (π/3)) - 789cos23(α x - (π/4)) = 2023 имеет решение на отрезке [-π;π]?
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 3
В-1 В треугольнике ABC длины сторон AB = 84, AC = 98. Точка O -- центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 4
В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ш
Очень сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 5
В-1 Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением ||x| + ||y|-3| - 3| = 1.
Очень сложная
Алгебра
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6
В-1 Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. 15 плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на 11 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?
Очень сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 7
В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на одном из его 54 квадратиков, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения б
Очень сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 8
В-1 Два ряда точек к задаче 8 Есть два ряда -- верхний и нижний, каждый из 6 точек (см. рисунок). Проводят отрезки с концами в противоположных рядах так, чтобы из каждой точки выходил ровно один отрезок. Сколько существует способов провести отрезки, чтобы среди всех пар отрезков было ровно 7 пар пер
В-1 В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она еще не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 2
В-1 Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением ||y|+||x|-4|-4|=1.
Сложная
Алгебра
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 3
В-1 Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. 15 плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на 11 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?
Сложная
Теория чисел
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 4
В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на центральном квадратике одной из его граней, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первог
Сложная
Комбинаторика
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 5
В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ш
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6
Деревья на вершинах правильного шестиугольника В-1 Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок) Насколько близко он сможет
Сложная
Планиметрия
Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 7
Три одинаковых прямоугольных треугольника В-1 На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5. Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, ка
