Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 2

Ответ:

Решение. Будем постепенно раскрывать модули.

. Пусть . Тогда выражение имеет вид

. Пусть , тогда выражение имеет вид

Так как в функции берется модуль от , то это означает, что можно начертить график в области и сделать симметрию относительно оси . Тогда рассмотрим выражение:

Рассмотрим, в общем виде, график функции . Раскрывая модуль, мы получим следующее:

Если , то . График -- прямая, проходящая через точки , .

Если , тогда . График -- прямая, проходящая через точки , .

Таким образом в области , мы имеем пару параллельных прямых, проходящих через точки , и , .

. Пусть , тогда выражение имеет вид

Теперь опять применим свойство модуля и будем исследовать выражение

Раскрываем модуль, получим график -- две параллельные прямые, проходящие через точки , и , .

В области, где , также воспользуемся свойством модуля. График в этой области симметричен относительно оси . Таким образом, получаем следующую фигуру

Теперь посчитаем площадь. Так как фигура симметрична относительно оси , достаточно посчитать площадь правой половины. Удобнее всего увидеть, что это квадрат со стороной , из которого <<вырезали>> меньший квадрат со стороной и отрезали уголок -- равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого к гипотенузе равна , а гипотенуза равна .

Таким образом, площадь равна: .