Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 5
Агриппина гоняет в школу на самокате, по тротуару -- но на её пути есть два пешеходных перехода со светофорами. От дома до первого перехода расстояние метров, ширина первого перехода равна метров, потом до следующего перехода ей надо ехать метров, второй переход шириной метров -- а там уже и школа.
Cветофоры работают так: на первом переходе машинам даётся секунд, пешеходам -- секунд, на втором переходе машинам даётся секунд, пешеходам -- секунд, а ещё известно, что ровно в момент выхода из дома первый светофор загорается красным (для пешеходов), а через секунд загорится красным светофор на втором переходе.
Агриппина может гнать сколь угодно быстро, и намерена попасть в школу как можно скорее, но ускорения она не любит -- девочка выезжает из дому с постоянной скоростью, которую и будет поддерживать на протяжении всего пути, не считаясь с правилами дорожного движения.
С какой наибольшей скоростью она сможет доехать до школы так, чтобы ей ни разу не пришлось проехать на красный, и чтобы светофор не переключился на красный, пока она ещё на зебре?
Ответ: м/с
Решение.
Изобразим происходящее графически (конечно, это не единственный способ решения). Отложим по оси время, по оси пройденное расстояние от дома до школы. Полосками прямоугольников обозначим переходы, где серый прямоугольник значит, что соответствующий светофор горит красным. Высота прямоугольника () соответствует ширине перехода, а ширина () -- времени, отведённому автомобилям. Горизонтальное расстояние между прямоугольниками () -- это время для пешеходов. Из условия задачи также понятно, как прямоугольники первого перехода сдвинуты относительно второго и отосительно оси (параметры ). Величины показывают расстояния от дома до нужного перехода. Расстояния и время на иллюстрациях уменьшены в раз, так что итоговая скорость будет такой же.
В такой системе координат поездку Агриппины изобразит прямая, выходящая из . Эта прямая не может пересекать как нижние стороны прямоугольников (это бы значило, что Агриппина подъехала к переходу, пока горит красный), так и левые (это бы значило, что зелёный погас, пока она ещё на дороге). Чем круче направлена линия -- тем выше скорость. Соответственно, нужно выбрать линию с самым крутым уклоном, которая бы не пересекала прямоугольников.
Синим обозначены скорости, подходящие для преодоления только первого перехода, красным -- те скорости, с которыми она бы смогла преодолеть по правилам второй. Соответственно, подходящие нам скорости будут лежать в пересечении синей и красной областей.
Критерии проверки: Арифметическая ошибка в верных рассуждениях, или же верное решение в неверно истолкованных условиях (скажем, не так понят принцип работы светофоров) . Найдена подходящая для преодоления всего пути постоянная скорость, но нет обоснования её максимальности .