Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 5

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2023, 9 класс

В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на метров от желаемой точки. Найдите ширину реки.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ:

Решение. Пусть -- ширина реки, а и -- заданные в условии относы.

При первом заплыве вектор абсолютной скорости пловца был равен сумме продольной составляющей (скорости течения) и поперечной составляющей, модуль которой равен собственной скорости пловца в стоячей воде. Так как за время, за которое пловец переплыл реку, он переместился на в поперечном направлении и на в продольном, отношение его собственной скорости к скорости течения равно .

Во время второго заплыва вектор абсолютной скорости был равен сумме всё той же продольной составляющей (скорости течения) и наклонной составляющей, направленной от точки второго старта к желаемой точке финиша и равной по модулю собственной скорости пловца. Умножая векторы скорости на время второго заплыва, получим два вектора перемещения: желаемый (длиной ) и снос длиной . Отношение их длин равно всё тому же отношению скоростей, откуда

Решая это уравнение относительно , получим ответ:

1

Критерии проверки: Арифметическая ошибка 10 Уравнение составлено, но не решено 5

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6

В остроугольном треугольнике ABC со стороной AC=1 провели высоту BH, в треугольнике BHC - биссектрису CL, в треугольнике BLC - медиану BM. Прямая AL пересекает сторону BC в точке K, причём angle BHK=angle MHC=15circ. Найдите площадь четырёхугольника KLHM.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 3

В-1 Из бумаги вырезали два разных прямоугольника -- но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторон
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 7

Дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром в точке O. Угол angle C=30circ. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону AB -- получилась точка O'. Точку, диаметрально противоположную точке A, симметрично отразили относительно прямой, содержащей
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 7

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Сложная
Планиметрия