Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 3
В-1 Из бумаги вырезали два разных прямоугольника -- но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторонам другого -- и какая-то часть столешницы оказалась накрыта всего одним слоем бумаги.
Какая наименьшая возможная площадь этой части столешницы?
Ответ:
Решение. Сначала найдём размеры возможных прямоугольников. Пусть стороны равны и . Тогда
Видим, что приводит к противоречию (отрицательное ), как и (тогда одновременно ). Начиная с выражение при росте будет убывать. Значит, потенциально не может быть больше . Перебрав варианты , получаем варианты , ; , ; , . То есть таких прямоугольников всего два: на , и на .
Предложим такое расположение прямоугольников. Оно действительно оптимально -- небольшие сдвиги вверх-вниз не изменят площади пересечения, большие (когда нижняя или верхняя сторона квадрата окажутся внутри прямоугольника) её уменьшат, что увеличит площадь однослойной области. Аналогично работают сдвиги влево и вправо.
Остаётся посчитать площадь, и она равна