1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 1

В-1 Решите уравнение √(4x2 - 12x + 9) + √(x2 - 6x + 9) + (√(-(x - 2)))2 = √(3 + √8) - √(3 - √8).
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 2

В-1 Укажите наименьшее положительное значение a, при котором неравенство 25 - (1/x) ≥ a + sin 2x не имеет ни одного решения x > 0.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 3

В-1 В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны 3, 3, 3√2. Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 4

В-1 Найдите все решения уравнения cos3(π x) + cos3(2π x) - cos3(4π x) = (cos(π x) + cos(2π x) - cos(4π x))3, принадлежащие отрезку [0.3; 1.6].
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 5

В-1 Даны три функции f1(x) = (x + a1)(x2 + b1x + 6), f2(x) = (x + a2)(x2 + b2x + 8), f3(x) = (x + a3)(x2 + b3x + 12) (здесь a1, b1, a2,
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 6

В-1 Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса 4 - 2√2. На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть. Найдите д
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 7

В-1 Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями -- сторона нижнего основания равна 2048 и.е., сторона верхней площадки равна 486 и.е. (и.е. -- инкские единицы длины). Высоту храма путеше
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 8

В-1 Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совмести
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

10 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 1

В-1 Решите неравенство √(log22 x + 3log2 x - sqrt{log22 x + 3log2 x - 4)} ≥ log2 x + 1. В ответ запишите сумму всех целых значений функции f(x0) = 16x0, где x0 -- решение неравенства.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 2

В-1 Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая AO пересекает описанную окружность треугольника OBC в точках O и M. Найдите длину секущей OM, если BC = 6, AB: AC = 3: 1, и angle BAC = 60circ.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 3

В-1 Решите неравенство √(sqrt{cos x) + 2√(-3sin x)} > 2√(sqrt{cos x) - √(-3sin x)}.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 4

В-1 При каких значениях параметра a уравнение |x + 1 - a| + |4x - a| = 4x - x - 1 имеет на промежутке [-1; 1] единственное решение?
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 5

В-1 На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились -- каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?
Очень сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 6

В-1 На чертеже есть парабола и три точки A, B, C. Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины O параболы до прямой AC равно 2. Найдите площадь треугольника OAB, если AC = 4, a BC = 3.
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 7

В-1 Назовем натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 (3 + 2 + 2 + 1 = 8); 5678 (5 + 8 = 6 + 7). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите кол
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 8

В-1 Вася нарисовал на доске замкнутую кривую ABCD, состоящую из четырех звеньев: AB -- дуга окружности, меньшая полуокружности, BC -- отрезок, CD -- дуга окружности, большая полуокружности, DA -- отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую д
Очень сложная
Планиметрия

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 1

В-1 Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 2

В-1 Решите уравнение x3 - |x2 - x - 2| = 12x - 13.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 3

В-1 Из бумаги вырезали два разных прямоугольника -- но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторон
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 4

В-1 Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая AO пересекает описанную окружность треугольника OBC в точках O и M. Найдите длину секущей OM, если BC = 6, AB: AC = 3: 1, и angle BAC = 60circ.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 5

В-1 Найдите все значения a, при каждом из которых оси координат и гипербола y = (1/x) высекают на прямой y = -18x + a три отрезка равной длины.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 6

В-1 На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились -- каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 7

В-1 В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее n задач, а Петя -- больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения n при этом условии обязательно найдется задача, которую решило не менее полов
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 8

В-1 Вася нарисовал на доске замкнутую кривую ABCD, состоящую из четырех звеньев: AB -- дуга окружности, меньшая полуокружности, BC -- отрезок, CD -- дуга окружности, большая полуокружности, DA -- отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую д
Сложная
Планиметрия