Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2025, 9 класс

В-1 Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите длину секущей , если , , и .

Ответ:

Решение.

Рисунок к решению задачи 4

Так как

то (где -- радиус описанной около треугольника окружности).
Также

Поэтому

Похожие задачи

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 3

В-1 Из бумаги вырезали два разных прямоугольника -- но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторон

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6

Деревья на вершинах правильного шестиугольника В-1 Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок) Насколько близко он сможет

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 5

В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ш

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 5

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15^circ, angle MBN = 45^circ и angle NBC = 75^circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Сложная

Алгебра

Планиметрия