Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6
В-1 Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в метра (см. рисунок) Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ: .
Решение.
Нужно понять, какую область может очертить баран. Обозначим точками , , , деревья, к и он привязан. и пересекаются в точке . Треугольник получится равносторонний, со стороной , -- его средняя линия.
Обозначим самую северную точку, до которой баран может дотянуться. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом .
Если пойти против часовой стрелки, баран будет описывать окружность радиуса с центром в . Однако долго это не продлится -- натянутая верёвка наткнётся на дерево . Окружность радиуса закончится в точке .
Дальше баран будет описывать окружность радиуса с центром в точке , пока натянутая верёвка не наткнётся на . Окружность закончится в .
Если он продолжит идти против часовой стрелки, он будет описывать окружность радиуса вокруг центра . (Дуга .)
Однако ещё он может спуститься между деревьями и и исследовать юг. Самая южная доступная ему точка . В треугольнике стороны равны , , , потому что и -- натянутые верёвки, от которых осталось по три метра.
Если он начнёт очерчивать границу по часовой стрелке, он опишет дугу -- это дуга окружности радиусом с центром в . Маленькая окружность целиком окажется внутри большой.
Правая граница фигуры будет симметрична левой.
Насколько близко он подойдёт к дереву-привязи? Надо найти расстояние между и дугой . Центр этой окружности в , радиус окружности , а , как высота равностороннего треугольника . Отсюда получаем ответ: .
Критерии проверки: Не наказываем за отсутствие рассмотрения очевидно неверного варианта 15 Правильный ответ получен при пропуске неконструктивного варианта 10 Неправильный ответ получен при пропуске конструктивного варианта 5