Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 4
В-1 В кино пришли девочек, мальчика и учительница. Все они расселись в первом ряду, в котором места пронумерованы от до . По пути в кинотеатр девочек начали активно общаться, и учительница решила, что сажать их рядом небезопасно. Между любыми двумя девочками должно быть минимум одно место: или незанятое, или занятое мальчиком или учительницей. Сколько различных способов рассадки имеется? (Два способа отличаются, если хотя бы один из участников группы сидит на местах с разными номерами.)
Ответ:
Решение. Обозначим девочек буквой (таких букв ). Между буквами должен быть какой-то из «разделителей» (или больше одного разделителя): или мальчик, или учительница, или свободное место. Обозначим разделитель буквой - таких букв . Расположим девочек слева направо и расположим между ними по одному разделителю: В результате останется вставить еще одну букву . Это можно сделать способами (получаются варианты типа и т. п.). В каждом из указанных вариантов так как все девочки - разные, и все «разделители» разные, есть способов переставить их местами, оставаясь в рамках данного варианта. Таким образом, количество способов рассадки равно: .