Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 1
В круге радиуса три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?
Ответ:
Решение. Точка пересечения -- это центр круга, иначе радиус проведенный через эту точку, был бы перпендикулярен к тем двум хордам, а значит, они совпали бы.
Если соединить центр с точкой пересечения, то полученный отрезок будет перпендикулярен обеим хордам (т.к. в равнобедроенном треугольнике медиана совпадает с высотой), которые делятся пополам. Значит в этом случае хорды совпали бы -- налицо противоречие.
10
Критерии проверки: Замечено, что хорды пересекаются в центре окружности, но это наблюдение не обосновано до конца.
Максимум: 0