Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 1
В-1 В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она еще не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для дочки. Отправляя ее в путь при звуковом сигнале часов в направлении, соответствующем положению солнца в этот момент, велела через час (по очередному сигналу часов) изменить направление движения в соответствии с новым положением солнца. Так в конце концов девочка и доехала бы до бабушки. Но, когда пришло время менять направление, девочка заметила далеко впереди юрту своей подружки, она продолжила движение, не меняя направления, доехала до подружки и проговорила с ней минуту, пока не прозвучал следующий сигнал часов. Тогда она вспомнила наставление матери и продолжила путь в направлении, соответствующем новому положению солнца. Как ни странно, до бабушки она доехала. Сколько всего времени (в минутах) она на это потратила?
Ответ:
Решение. Пусть девочка выехала из точки в направлении на солнце (), должна была повернуть в точке , а юрты подружки и бабушки находятся в точках и . Так как солнце за сутки совершает видимый оборот в , то за час направление на солнце меняется на , а за два часа -- на , т. е. , .
Из свойства внешнего угла треугольника вытекает, что , так что -- равнобедренный и .
Таким образом, чтобы добраться до бабушки, девочка затратила:
- час на путь до нужной точки поворота;
- минут на путь до юрты подружки;
- минуту на беседу в точке ;
- минут на путь до бабушки.
Итого, у нее ушло минут.
Критерии проверки: Задача составлена некорректно. Обоснование некорректности условия 15 Арифметическая ошибка 10 Построен верный чертеж 5