Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 4
В неравнобедренном треугольнике медиана перпендикулярна биссектрисе . Найдите все возможные значения периметра треугольника , если длина стороны равна , а длины двух других сторон выражаются целыми числами.
Ответ: целые числа от до и от до включительно
Решение. В биссектриса угла по условию перпендикулярна стороне , то есть является одновременно биссектрисой и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, . Тем самым известны две стороны : , . Третья сторона может принимать произвольные целые значения, но при этом должен: а) существовать; б) быть неравнобедренным. Значит, должны выполняться неравенства: , , . Отсюда , . Возможные целые значения : , , , , , , , , , , , . Соответственно возможные значения периметра треугольника: целые числа от до и от до включительно.
Критерии проверки: Арифметическая ошибка при правильных рассуждениях . В целом верные рассуждения, но забыто какое-либо из неравенств на стороны (не учтена неравнобедренность, или же неравенство сторон треугольника) .