Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 7
На биссектрисе угла треугольника отмечена точка , а на продолжении стороны за точку -- точка так, что и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника .
Ответ: .
Решение. Поставим точку на продолжении отрезка за точку . Точка лежит одновременно на биссектрисах углов и , а значит, равноудалена от прямых и и, стало быть, лежит на биссектрисе угла . Тогда, учитывая равенство углов и в равнобедренном треугольнике , из равенства накрест лежащих углов и получаем параллельность прямых и . Отсюда следует, что накрест лежащие углы и равны , а значит, . Получили, что треугольник равнобедренный и .