Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2020, 9 класс

В трапеции диагональ равна и является одновременно её высотой. Из точек и к сторонам и соответственно проведены перпендикуляры и . Найдите , если и .

Ответ: .

Решение. Пусть , . Тогда из прямоугольных треугольников , и по теореме Пифагора находим , , . Площадь треугольника равна , откуда получаем

Аналогично, площадь треугольника равна , поэтому . Подставляя сюда полученное ранее выражение через , с учётом условия находим

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6

В остроугольном треугольнике ABC со стороной AC=1 провели высоту BH, в треугольнике BHC - биссектрису CL, в треугольнике BLC - медиану BM. Прямая AL пересекает сторону BC в точке K, причём angle BHK=angle MHC=15^circ. Найдите площадь четырёхугольника KLHM.

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 7

Дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром в точке O. Угол angle C=30^circ. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону AB -- получилась точка O'. Точку, диаметрально противоположную точке A, симметрично отразили относительно прямой, содержащей

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 3

В-1 Из бумаги вырезали два разных прямоугольника -- но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторон

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 5

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15^circ, angle MBN = 45^circ и angle NBC = 75^circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Сложная

Алгебра

Планиметрия