Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6
В остроугольном треугольнике со стороной провели высоту , в треугольнике - биссектрису , в треугольнике - медиану . Прямая пересекает сторону в точке , причём . Найдите площадь четырёхугольника .
Ответ
Ответ: .
Решение. Треугольник - прямоугольный, поэтому его вершины лежат на окружности с центром в середине гипотенузы - точке . Тогда и . Значит, и точка лежит на той же окружности. Тогда как опирающийся на диаметр вписанный угол, и - также высота треугольника . Поэтому - точка пересечения высот треугольника , а значит, луч содержит высоту и биссектрису этого треугольника, поэтому треугольник равнобедренный (). Отсюда, в частности, следует, что и .
Так как медиана делит площадь треугольника пополам,