1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Заключительный этап

10–11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 1

В-1 Найдите f(1)+f(2)+f(3)+ldots+f(13), если f(n)=4n3-6n2+4n+13.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 2

В-1 Решите систему уравнений:
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 3

В-1 Числа a,b,c таковы, что каждое из двух уравнений x2+bx+a=0 и x2+cx+a=1 имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше (-1). Найдите наименьшее значение a.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4

В-1 Две кольцевые трассы α и β одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе α по часовой стрелке едет автомобиль A, по трассе β против часовой стрелки едет автомобиль B. В момент старта автомобили A и B находятся на одной прямой с центром трассы α, причём эта прямая касается трассы β. После ст
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5

В-1 Из равнобедренного треугольника с углом α при вершине и площадью 1 вырезают максимальный по площади круг, а из него - максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь S(α) полученного в итоге треугольника при 60circ≤α≤12
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 6

В-1 В неправильной пирамиде ABCD сумма плоских углов при вершине A равна 180circ. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани BCD равна s и AB=CD, AD=BC.
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 7

В-1 Докажите, что число (√3+√5+√7)2021 представимо в виде n√3+m√5+k√7+l√(3 · 5 · 7), где n,m,k,l - натуральные числа, и при этом 1-10-500
Очень сложная
Алгебра

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 1

Два автомобиля преодолели одинаковое расстояние. Скорость первого была постоянна и в 3 раза меньше, чем начальная скорость второго. Второй автомобиль проехал первую половину пути, не меняя скорость, затем он резко сбросил скорость в два раза, проехал с постоянной скоростью еще четверть пути и снова
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 2

Сколько существует делителей числа 20212021, кубический корень из которых является натуральным числом?
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 3

Решите систему
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 4

Сколько существует троек чисел a,b,c, каждое из которых служит корнем соответствующего уравнения ax2+bx+c=0?
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 5

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x+frac1x+(x/x2+1) при x>0.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6

В остроугольном треугольнике ABC со стороной AC=1 провели высоту BH, в треугольнике BHC - биссектрису CL, в треугольнике BLC - медиану BM. Прямая AL пересекает сторону BC в точке K, причём angle BHK=angle MHC=15circ. Найдите площадь четырёхугольника KLHM.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7

На числовой прямой отмечены 200 точек, имеющие координаты 1,2,ldots,200. Двое игроков по очереди ставят в любую из еще незанятых точек число «0» или число «1». Когда все возможные ходы сделаны, рассматриваются 199 отрезков [1;2], [2;3], [3;4], ldots, [199;200] и подсчитываются баллы за каждый отрезо
Сложная
Комбинаторика