Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 7
В-1 Докажите, что число представимо в виде
где - натуральные числа, и при этом
Решение. Верно следующее утверждение: Для любых простых : число
представимо в виде
где - натуральные числа, и
где
В наших примерах .
Доказательство: Пусть
Выбирая по одному слагаемому в каждой скобке и перемножая их, получим сумму слагаемых вида
Если все числа нечётные, то . Если нечётно только , то , если нечётно только , то , если нечётно только , то , а два числа нечётными быть не могут, так так сумма нечётна. Значит,
Аналогично показываем, что
Из этих равенств получаем
Откуда
Положим , учитывая, что
и , получаем
Точно так же сможем найти . Действительно,
Значит,
Далее,
Следовательно, .
Критерии проверки: Правильно доказано представление степени в виде линейной комбинации корней с натуральными коэффициентами и правильно ± 10 получены некоторые соотношения между коэффициентами этой линейной комбинации, но оценок нет Правильно доказано только представление степени в виде ∓ 5 линейной комбинации корней с натуральными коэффициентами