Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7
На числовой прямой отмечены точек, имеющие координаты . Двое игроков по очереди ставят в любую из еще незанятых точек число «» или число «». Когда все возможные ходы сделаны, рассматриваются отрезков , , , , и подсчитываются баллы за каждый отрезок: если концы отрезка содержат одинаковые числа, то балл получает первый игрок, если разные - то второй.
а) Кто из игроков может обеспечить себе большую сумму баллов независимо от ходов соперника?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра (при условии, что каждый игрок играет наилучшим для себя образом)?
Ответ: а) Второй игрок; б) балл.
Решение. Заметим, что первый игрок после своего первого хода баллов не получает, тогда как второй игрок за каждый ход может гарантированно получить балл. Действительно, ему достаточно выбрать уже занятую числом точку, у которой есть незанятая соседняя точка и поставить туда другое число. Таким образом, меньше чем баллов второй игрок при правильной игре не получает. Отрезков всего , поэтому при правильной игре второй всегда выигрывает. Начиная со второго своего хода первый игрок также может гарантированно получать по баллу за ход (ставя в соседнюю к уже занятой точке такое же число). Таким образом, при правильной игре первый игрок гарантированно получает баллов.
Критерии проверки: Обоснованно получен верный ответ только для пункта а) ± 10 Обоснованно получен верный ответ только для пункта б) ∓ 5 Замечание. Верные ответы без обоснования решением не считаются.