Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 5

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2020, 9 класс

Вовочка складывает трёхзначные числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы он получил бы значение . Найдите наименьшую возможную положительную разность между ответом Вовочки и верным ответом.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Пусть и -- складываемые Вовочкой числа (, так как числа трёхзначны), их сумма равна . Если Вовочка получил неправильный ответ, то при сложении последних или предпоследних цифр (или в обоих случаях) сумма была двузначной, т. е. возможны три случая.

  1. Если , , то Вовочка получит ответ , а разность между верным ответом и ответом Вовочки равна .

  2. Если , , то ответ Вовочки равен , что отличается от верного ответа на .

  3. Если , , то Вовочка получит ответ , в этом случае разность равна .

Итак, в каждом из случаев разность ответов будет не меньше, чем . Разность, равная , получится, например, при сложении чисел и : Вовочка получит ответ при верном ответе .

Похожие задачи

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 1

В-1 Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7

На числовой прямой отмечены 200 точек, имеющие координаты 1,2,ldots,200. Двое игроков по очереди ставят в любую из еще незанятых точек число «0» или число «1». Когда все возможные ходы сделаны, рассматриваются 199 отрезков [1;2], [2;3], [3;4], ldots, [199;200] и подсчитываются баллы за каждый отрезо
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 6

В-1 В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки. a) Какого минимального объёма должен быть кувшин,
Сложная
Алгебра
Комбинаторика

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 1

В-1 Различные целые числа m и n таковы, что числа ((1/m) - 2) и ((1/n) - 2) являются корнями квадратного трехчлена x2 + ax + b с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения a + b.
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика