Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2024, 9 класс

В-1 Различные целые числа и таковы, что числа и являются корнями квадратного трехчлена с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения .

Ответ

Ответ:

Решение. Числа и являются рациональными. По теореме Виета имеем:

Из первого уравнения следует, что . Тогда из второго уравнения имеем:

Значит, , следовательно, так как они целые и различные, то либо , либо . То есть и - корни квадратного трехчлена. Тогда (по теореме Виета) .

Похожие задачи

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 7

В-1 В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее n задач, а Петя -- больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения n при этом условии обязательно найдется задача, которую решило не менее полов

Сложная

Комбинаторика

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 7

В-1 Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Кольцевые трассы к задаче 7 Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на 180^circ. По каждой из трех трасс автомобиль едет со

Сложная

Алгебра

Планиметрия

Комбинаторика

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 6

В-1 В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки. a) Какого минимального объёма должен быть кувшин,

Сложная

Алгебра

Комбинаторика

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 2

Сколько существует делителей числа 2021²⁰²¹, кубический корень из которых является натуральным числом?

Сложная

Теория чисел