Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 7
В-1 В классе, состоящем из учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее задач, а Петя -- больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения при этом условии обязательно найдется задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение. Если , то в общей сложности учащиеся решили задач не менее . Но если при этом каждую задачу решило не более учащихся, то всего задач они решили не более -- противоречие. Если же , причём Петя решил задач, а все остальные по задачи -- пусть даже все по , то может случиться, что каждую задачу решили ровно по учащихся. Действительно, расположив все задач по окружности, каждому учащемуся отведем ровно по задач подряд со сдвигом на задач при переходе к следующему учащемуся -- тогда каждой задаче будет соответствовать ровно учащихся.