Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 3

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2026, 9 класс

Пусть -- множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими . Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат , а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ:

Решение. Найдём количество прямоугольников, координаты вершин которых - натуральные числа, удовлетворяющие условиям , , а стороны параллельны осям . Нам нужно выбрать две вертикальные прямые из и две горизонтальные прямые из . Таким образом, всего получится

прямоугольников.

Каждый прямоугольник порождает прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условиям задачи. (Важно, что ни один из этих четырёх треугольников не может быть порожден другим прямоугольником.) Таким образом, количество прямоугольных треугольников равно .

1

Критерии проверки: Арифметическая ошибка в правильных с комбинаторной точки зрения рассуждениях . Комбинаторные рассуждения имеют изъян .

0
Максимум: 0

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 8

Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона). С ка
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 4

В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на центральном квадратике одной из его граней, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первог
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 1

В-1 Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 7

Три одинаковых прямоугольных треугольника В-1 На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5. Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, ка
Сложная
Комбинаторика