Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 7
В-1 На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами , , . Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, как бы вы ни двигали треугольник, стороны - - будут расположены по ходу часовой стрелки).
Посчитайте, сколько различных <<жёстких>> фигур можно собрать, используя все эти треугольники. Фигура считается <<жёсткой>>, если у каждого её треугольника есть с каким-нибудь другим треугольником общая вершина и общий граничный отрезок с концом в этой вершине (необязательно целая сторона).
Ответ:
Решение. Треугольники могут крепиться друг к другу так: либо каждый прикреплён к каждому (получается этакое кольцо), либо же к одному из треугольников (назовём его центральным) <<жёстко>> прикреплены два остальных (назовём их соседями). Рассмотрим сначала второй случай.
Берём один из треугольников, он будет выполнять роль центрального. <<Жёстко>> прикрепить два других треугольника к одной и той же его стороне нельзя без существенного наложения треугольников (это было бы возможно, если бы одна из сторон была по крайней мере в раза короче другой). Значит, для крепежа надо выбрать пару сторон центрального треугольника. Это можно сделать тремя способами ( или или ). К каждой из выбранных сторон центрального треугольника другой треугольник можно <<жёстко>> прикрепить способами (: способ для крепления со стороной такой же длины, а для каждой из двух других сторон соседнего треугольника есть два способа, так как в этом случае есть выбор, какую из двух вершин делать общей). На рисунке разными цветами для разных сторон центрального треугольника показано по способов крепления соседа.
Итак, есть способа выбрать пару сторон центрального треугольника, а для каждой из выбранных сторон -- по способов прикрепить соседа. Всего получается способов.
Осталось выбросить те из них, у которых имеется существенное наложение треугольников. Из рисунка видно, что отбраковываются способа, в каждом из которых участвует зелёный сосед, крепящийся гипотенузой к длинному катету центрального треугольника с самым острым углом при общей вершине. Он накладывается на синего соседа, крепящегося гипотенузой к короткому катету с не самым острым углом при общей вершине, а также на синего соседа, крепящегося своим длинным катетом к короткому катету центрального треугольника с разными острыми углами при общей вершине. Таким образом, для случая <<центр и два соседа>> имеется способа составить <<жёсткую>> фигуру.
Что касается <<кольцевого>> случая, то из того же рисунка видно, что он невозможен: хотя и есть варианты, когда каждая пара составляющих фигуру треугольников имеет общий граничный отрезок, одной из таких пар (зелёно-синей) не хватает общей вершины.
Критерии проверки: Оценивается индивидуально При получении суммы баллов, большей 100, участнику ставится оценка 100.