Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 6

Очень сложная
Стереометрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2021, 10–11 классы

В-1 В неправильной пирамиде сумма плоских углов при вершине равна . Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани равна и , .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Докажем, что грани пирамиды - равные треугольники. Для этого рассмотрим развёртку пирамиды , где , , .

Развёртка пирамиды

Пусть , , . Так как , то точки , , лежат на одной прямой. Так как , , то - параллелограмм и . Аналогично - тоже параллелограмм. Треугольник равен треугольнику . Значит, грани пирамиды - равные треугольники.

1

Критерии проверки: Сделана развёртка, но допущены погрешности в обосновании ± 10 равенства всех граней Сделана развёртка и некоторые попытки в доказательстве равенств ∓ 5 треугольников – 0

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 2

Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распилили параллельно граням на кубики со стороной 1 см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окраш
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 1

Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна 2026. Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 7

Куб с ребром a=√(2+√3) освещается цилиндрическим лучом света радиуса ρ=√2, направленным вдоль главной диагонали куба (ось луча содержит главную диагональ). Найдите площадь освещенной части поверхности куба.
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 4

Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 60circ. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Очень сложная
Стереометрия