Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 1

Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна . Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.

Ответ

Ответ:

Решение. Пусть длины сторон призмы, упорядоченные по возрастанию, равны , и , где и .

Тогда объем, площадь полной поверхности и сумма длин всех ребер равны , , соответственно. По условию,

Левая часть уравнения может быть записана в виде . Тогда

Так как при этом , то единственной тройкой натуральных чисел, подходящей под условия задачи, будет .

Значит, , , , то есть , , . Объём призмы равен . Это единственное возможное значение.

Критерии проверки: Составлено правильное уравнение в соответствии с условиями задачи, оно верно преобразовано, но решение с арифметической ошибкой . Составлено правильное уравнение в соответствии с условиями задачи и разложение на множители, но при переборе возможных вариантов допущены ошибки .

Максимум: 0

Похожие задачи

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 7

В-1 Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями -- сторона нижнего основания равна 2048 и.е., сторона верхней площадки равна 486 и.е. (и.е. -- инкские единицы длины). Высоту храма путеше

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 2

Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распилили параллельно граням на кубики со стороной 1 см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окраш

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 2

Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траекто

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 6

В-1 В неправильной пирамиде ABCD сумма плоских углов при вершине A равна 180^circ. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани BCD равна s и AB=CD, AD=BC.

Очень сложная

Стереометрия