Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 1
Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна . Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.
Ответ:
Решение. Пусть длины сторон призмы, упорядоченные по возрастанию, равны , и , где и .
Тогда объем, площадь полной поверхности и сумма длин всех ребер равны , , соответственно. По условию,
Левая часть уравнения может быть записана в виде . Тогда
Так как при этом , то единственной тройкой натуральных чисел, подходящей под условия задачи, будет .
Значит, , , , то есть , , . Объём призмы равен . Это единственное возможное значение.
Критерии проверки: Составлено правильное уравнение в соответствии с условиями задачи, оно верно преобразовано, но решение с арифметической ошибкой . Составлено правильное уравнение в соответствии с условиями задачи и разложение на множители, но при переборе возможных вариантов допущены ошибки .