Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 2

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2020, 10 класс

Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распилили параллельно граням на кубики со стороной см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окрашены. Найдите длину параллелепипеда, если она на см больше ширины и на см больше высоты.

Ответ: см.

Решение. Пусть длина параллелепипеда равна см, тогда ширина равна , а высота равна . Получится кубиков. Неокрашенных кубиков будет («убирается» слой шириной в кубик с каждой стороны). Получается уравнение при условии . Его корни: , , . Первые два корня не подходят. Значит, , и это параллелепипед .

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 1

Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна 2026. Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 7

Куб с ребром a=√(2+√3) освещается цилиндрическим лучом света радиуса ρ=√2, направленным вдоль главной диагонали куба (ось луча содержит главную диагональ). Найдите площадь освещенной части поверхности куба.

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 6

В-1 В неправильной пирамиде ABCD сумма плоских углов при вершине A равна 180^circ. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани BCD равна s и AB=CD, AD=BC.

Очень сложная

Стереометрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 4

Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 60^circ. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.

Очень сложная

Стереометрия