Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 4
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен . Снаружи этого конуса расположены шаров радиуса , каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Ответ: .
Решение. Условие в общем виде: Около (или внутри) конуса с углом при вершине в осевом сечении равном расположены шаров радиуса , каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Ответ в общем виде:
или
Решение в общем виде. Пусть — центр окружности основания конуса, радиуса , — центр одного из шаров радиуса , — точка касания этого шара с плоскостью основания (шар либо внутри, либо вне конуса см. рис. ), — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса (см. рис. ). Значит, для внешнего касания , а для внутреннего – (см. рис. ).
Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного -угольника вписанного в окружность с центром в точке , радиуса и стороной, равной . Поэтому , где или .