1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Заключительный этап

11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 1

Какое из чисел больше: A=(3/(1 · 2)2) +(5/(2 · 3)2) +ldots+(87/(43 · 44)2) +(89/(44 · 45)2) или B=frac{6√(4-2√3) · 3√(√3+1)}{3√(2)}?
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 3

Есть функция f(x)=(1/5√(1-x5)). Вычислите f(f(f(f(f(ldots f(2022)))ldots))), где функция f применяется 1303 раза.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 4

Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 60circ. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 5

Если действительные числа a,b,c упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку x1≤ x2≤ x3, то число x2 будем называть средним из чисел a,b,c. Найдите все значения t, при каждом из которых среднее из трёх чисел a=t3-100t;qquad b=2t
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 6

При каких значениях параметра a∈mathbb{R} наибольшее расстояние между корнями уравнения aoperatorname{tg}3x+(2-a-a2)operatorname{tg}2x+(a2-2a-2)operatorname{tg}x+2a=0, принадлежащими интервалу (-(π/2);(π/2)), принимает наименьшее значение? Найдите это наим
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 7

Высота BD остроугольного треугольника ABC пересекается с его другими высотами в точке H. Точка K лежит на отрезке AC так, что величина угла BKH максимальна. Найдите DK, если AD=2, DC=3.
Очень сложная
Планиметрия

10 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 2

Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траекто
Очень сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 3

Найдите три последние цифры числа 102022-92022.
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 4

По окружности выписаны 2022 единицы. Два игрока ходят по очереди: за один ход игрок стирает два соседних числа из написанных и пишет вместо них их сумму (один раз). Выигрывает тот, кто получит число 4. Если в конце игры остаётся одно число, не равное 4, игра оканчивается вничью. Может ли кто-то из и
Очень сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 5

Число a таково, что уравнение t3+4t2+4t+a=0 имеет три действительных корня x3-4y2-4z2-4y-4z+32.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 6

Найдите координаты всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от всех точек пересечения парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями y=2x2-1 и x=4y2-2.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 7

Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов. Пояснение. Обозначим
Очень сложная
Комбинаторика

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 1

На гранях шестигранного игрального кубика расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Кубик бросают, и он падает на стол. После этого видны числа на всех гранях, кроме одной. Числа на пяти видимых гранях перемножаются. Найдите вероятность того, что это произведение делится на 16.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 2

Найдите количество натуральных чисел, не превышающих 2022 и не входящих ни в арифметическую прогрессию 1,3,5,ldots, ни в арифметическую прогрессию 1,4,7,ldots.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 3

Найдите три последние цифры числа 102022-92022.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 4

Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии 9 км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в 15 километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побере
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 5

Найдите все значения x, при каждом из которых среднее из трёх чисел a=x3-100x,qquad b=x4-16,qquad c=x+20-x2 положительно (средним из трёх данных чисел a,b,c называется число v в тройке u≤ v≤ w, получаемой в результате упорядочения данных чисел по нестрогому возрастан
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 6

Точка A на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями y=-3x2+2 и x=-4y2+2. Найдите это расстояние.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 7

Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов. Пояснение. Обозначим
Сложная
Комбинаторика