Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 5
Если действительные числа упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку , то число будем называть средним из чисел . Найдите все значения , при каждом из которых среднее из трёх чисел
положительно.
Ответ
Ответ: .
Решение. Напрямую значения сравнивать сложно. Однако, чтобы среднее из трёх чисел было положительным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере два числа из тройки были положительны.
Нужно, чтобы хотя бы два из трех чисел были положительны.
и при , область идёт в ответ.
и при , эта область в ответе быть не может.
На оставшейся области положительно только одно из чисел . Значит, в ответ пойдут те её части, где . Посмотрим, как пересекаются и , где .
При получим интервал . Он с областью не пересекается, ведь .
При получим интервал . Он лежит в области целиком, ведь . Интервал идёт в ответ.
При получим интервал . Он тоже лежит в области целиком, ведь . Интервал идёт в ответ.
При получим интервал . Тут получается такое неравенство: , интервал пересекается с областью , пересечение — это множество , которое пойдёт в ответ.
При остальных интервалы заведомо лежат либо далеко левее , либо правее , и на ответ не повлияют.
В итоге ответ складывается из объединения множеств , , , .