Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 6
Точка на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями и . Найдите это расстояние.
Ответ: .
Решение. Изобразив параболы с данными уравнениями, легко заметить, что они имеют общие точки. Значит, равноудалённая от них точка может быть максимум одна. Перепишем уравнения парабол в виде и и сложим. Получим уравнение
Это уравнение окружности с центром радиуса , и ему удовлетворяют координаты всех точек пересечения парабол, а центр окружности удалён от этих точек пересечения на расстояние, равное радиусу окружности.