Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 7

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2022, 11 класс

Высота остроугольного треугольника пересекается с его другими высотами в точке . Точка лежит на отрезке так, что величина угла максимальна. Найдите , если , .

Ответ: .

Решение. Чем больше острый угол, тем больше его тангенс. Поэтому условие максимальности угла можно заменить на условие максимальности его тангенса. По формуле тангенса разности имеем

Максимум этого выражения достигается при том же значении , что и минимум выражения

где . Производная равна и обращается в нуль при (нас интересуют только положительные значения ).

Заметим, что , откуда . Таким образом, .

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 5

В-1 Три графика параболы y=Cx² повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1. Треугольник

Очень сложная

Алгебра

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 3

В-1 В треугольнике ABC длины сторон AB = 84, AC = 98. Точка O -- центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 4

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15^circ, angle MBN = 45^circ и angle NBC = 75^circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 4

В-1 Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна -- длину 1, а его площадь -- наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?

Очень сложная

Планиметрия