Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 4
В-1
Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину , ещё одна -- длину , а его площадь -- наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?
Ответ:
Решение.
Пусть известные длины сторон четырехугольника равны , и .
В условии не указан порядок расположения этих сторон: , , или , , . Но вместо четырехугольника , в котором, скажем , , рассмотрим четырехугольник , в котором, , . В нем тот же набор известных длин сторон (но в другом порядке), а площади этих четырехугольников равны, так как это суммы и , причем .
Поэтому можно считать, что , . Заметим, что двигая точку по дуге окружности радиуса с центром в точке , мы будем получать четырехугольник с тем же набором известных длин сторон, с той же частью , а площадь части будет наибольшей тогда, когда (иначе при том же основании высота из точки будет короче, чем ). Двигая аналогично точку вокруг точки , получим, что из свойства максимальной площади четырехугольника вытекает .
Итак, имеются два прямоугольных треугольника и с общей гипотенузой и равными катетами и . Значит, треугольники равны, как и их высоты на гипотенузу, т. е. -- равнобедренная трапеция с тупыми углами и .
Пусть , где и -- проекции точек и на . Тогда из свойства высоты прямоугольного треугольника получаем , т. е. или , откуда, с учетом того, что ,
Вычисления по вариантам:
Критерии проверки: Один случай последовательности длин сторон рассмотрен полностью, другой упомянут 15 Один случай последовательности длин сторон рассмотрен полностью, другой не упомя- 10 нут (даже при наличии арифметической ошибки)