Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4
В-1 Две кольцевые трассы и одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе по часовой стрелке едет автомобиль , по трассе против часовой стрелки едет автомобиль . В момент старта автомобили и находятся на одной прямой с центром трассы , причём эта прямая касается трассы . После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Ответ: часа минут.
Решение. Пусть радиус кольцевой трассы равен . Введём прямоугольную систему координат с началом в точке старта автомобиля , осью , проходящей через центр трассы , и осью , проходящей через центр трассы . Тогда координаты центров трасс и соответственно равны и . Если - время движения автомобилей от точки старта (в часах) и , то через часов после старта автомобили будут иметь координаты:
Тогда
Требуется найти время, в течение которого
То есть
(последняя равносильность следует из того, что второй сомножитель в предпоследнем неравенстве всегда отрицателен). Решения последнего неравенства заполняют половину тригонометрической окружности, поэтому указанное условие будет выполняться половину времени движения автомобилей.
Критерии проверки: Верные геометрические рассуждения или аналитические выкладки, ± 10 ответ неверен из-за арифметической ошибки Дан верный ответ с недостаточным обоснованием ∓ 5