Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 6

Ответ:

Решение. Решим задачу в общем виде: вместо угла берем угол (важно, что ).

Пусть , тогда , . При этом из условия вытекает, что , поэтому . Обозначим , тогда .

По теореме синусов из треугольников и :

Исключая и , получим

Превратим в левой части произведение в сумму:

Обратно перейдём к произведению:

Так как — острый угол, единственным решением будет

Значит, , поэтому

Значит, искомое отношение равно

Возможно также решение, не использующее тригонометрию — для него надо провести высоту , обозначить пересечение и как точку , заметить равенство треугольников и и записать сумму углов треугольника .