Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 6
В-1 Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса . На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть.
Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего.
Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.
Ответ:
Решение.
Пусть радиус полива равен . В точках и расположены поливалки, нора находится в . Поменяем направление -- пусть мышь выбегает из норы и стремится на сухую землю. Путь мыши может быть какой угодно формы, но, так или иначе, ей придётся покинуть область двойного полива -- пусть это произойдёт в точке . Тогда -- оптимальный путь до точки это отрезок , а оптимальный путь от до сухой земли -- это , где лежит на радиусе . Значит, кандидаты на оптимальный путь -- ломаные вида (красный путь на чертеже) и определяются они одним параметром -- положением точки .
Мышь мокнет от каждой поливалки, поэтому нужно минимизировать сумму расстояний, пройденных под каждой поливалкой. Путь под поливалкой равен , путь под поливалкой равен , поэтому нужно найти минимально возможное значение .
Опишем положение через угол , где . Тогда: , , находим по теореме косинусов:
Далее, , а найдём как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами и известным углом между ними:
Значит:
Нужно найти минимум функции , которая характеризует степень намокания -- берём производную:
Нулю может равняться только скобка (угол меняется в таких пределах, что в ноль не обращается). Решаем уравнение
Значит, экстремум равен (если , )
На всякий случай проверим, точно ли это точка минимума. Если бы мышь взяла курс ровно наверх (см. рисунок), то приняла бы значение , что больше, чем (правда, разница небольшая). Если бы побежала направо -- равнялось бы . Так что мы действительно нашли минимум.
Длина пути при этом равна , то есть ответ равен