Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 7
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей и , расстояние между центрами окружностей равно ). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние в сторону, направо, перпендикулярно направлению своего движения. Косилка ездит по часовой стрелке, соответственно, скошенная трава окажется внутри трассы. После того, как газонокосильщик завершил круг, внутри трассы вырисовалась замкнутая дорожка из скошенной травы. Найдите её длину.
Ответ:
Решение. Пусть радиусы кругов равны , , расстояние между центрами кругов равно , отступ равен . При этом во всех вариантах .
Дорожка изображена красной линией. Прямолинейные куски трассы остались прямолинейными и сохранили свою длину, дуги окружностей превратились в дуги радиусов , . Правая дуга при этом «вывернулась».
Чтобы найти угол наклона прямолинейного куска, параллельно сдвинем его, пока его конец не окажется в центре правой окружности. Посмотрим на серый треугольник — он прямоугольный, с гипотенузой и катетом . Угол в этом треугольнике равен . Длины прямолинейных участков трассы равны второму катету треугольника, по теореме Пифагора это . Угол левой дуги равен , угол правой равен .
Общая длина получается такая:
Подставляя , , , , получаем .
Критерии проверки: За ошибки при подсчёте длины правильно определённой траектории (у которой левая дуга окружности выпуклая, правая — «вогнутая») . За правильный подсчёт длины неправильной траектории (если её форма отличается от истинной) .