Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 5
В-1 Три графика параболы повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно .
Ответ:
Решение. Посмотрим на треугольник из парабол. Если его «углы» нулевые - то это значит, что касательные парабол в вершинах совпали (красные линии на рисунке). Значит, касательные должны пересечься под углом .
Повернув одну из сторон так, чтобы она описывалась графиком , который нарисован от точки касания до точки касания, . Симметричность рисунка очевидна. Требование «касательные должны пересечься под углом » превращается в условие «угол наклона касательной к параболе в точке равен ». Отсюда можно найти все параметры рисунка:
Получилось, что парабола поместилась в прямоугольник высотой и шириной . Осталось заметить, что радиус вписанной окружности - это в точности расстояние от точки пересечения красных касательных до точки . Найти точку пересечения этих касательных несложно - она окажется в . При этом ширина прямоугольника - это как раз расстояние между соседними вершинами, равное по условию.
Значит, , , искомый радиус равен .
Для вариантов с другими фигурами рассуждения аналогичны - просто углы пересечения касательных другие.
Критерии проверки: Верная идея подсчёта параметров фигуры, но при подсчётах допущена арифметическая ошибка . Есть правильные идеи, но направления касательных определены неверно .