Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 4

Ответ:

Решение. Проиллюстрируем на примере .

Предположим, прямоугольник разделён на сколько-то частей линиями. Представим, что мы провели поверх этих линий новую, из точки в - как вырастет число областей?

На новой линии, помимо общих для всех и , окажется сколько-то точек перечения со старыми, допустим, . Вместе с концами это точки, и, следовательно, новая линия будет разбита на отрезок. Каждый из отрезков отсечёт по одному новому куску, то есть областей станет больше на .

Для линий произвольной формы, конечно, такое правило будет неверно (см. пример на рисунке «пуговицы») - но в условиях задачи таких областей не получится.

Действительно, если двум, трём, или более «отрезкам» соответствует всего один новый кусок - это значит, что область была с отверстиями. Однако в нашем случае всякая область поддаётся описанию как область между какими-то двумя графиками и (возможно, заданными кусочно). Следовательно, отверстия внутри области мы не увидим - каждый вертикальный срез области при фиксированном будет выглядеть как вертикальный отрезок .

Значит, остаётся подсчитать число перечений синусоид друг с другом. Для двух отдельно взятых синусоид это задача несложная:

Также несложно найти точки пересечения синусоид с верхней и нижней границей:

Напишем таблицу, показывающую количество пересечений, растущее с каждой новой синусоидой. В ячейках написаны пересечения с (или с ). В последней графе подводится итог. Без каких-либо синусоид у нас область одна - сам прямоугольник, поэтому на «нулевой» строке значение итога равно . Дальше к накопленному значению прибавляется количество новоотсечённых областей, которое на больше количества корней, то есть прирост на больше суммы чисел в скобках по строке. Отсюда складывается ответ - в нижнем правом углу таблицы.