Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 3

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2024, 10 класс

В-1 Решите уравнение:

Ответ:

Решение. Если , то при любом решения нет, так как левая часть уравнения будет строго положительна. Если , , то решения тоже нет по той же причине. Остается вариант , . В этом случае уравнение приводится к виду

который равносилен системе уравнений

После замены переменных , система сведется к следующему виду

Прибавляем к первому уравнению второе, умноженное на три, и получаем , .
Значит (из второго уравнения), .
В исходных переменных задача свелась к системе уравнений

которая с помощью обратной теоремы Виета сводится к решению квадратного уравнения

Похожие задачи

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 7

Функция f, заданная на множестве целых чисел, удовлетворяет условиям: 1) f(1)+1>0; 2) f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-xy+xy при любых x,y∈mathbb Z; 3) 2f(x)=f(x+1)-x+1 при любых x∈mathbb Z. Найдите f(10).

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 8

В-1 При каких значениях параметра a множество решений неравенства 3x²log_a x-log_x a-2x≥0 (относительно неизвестной x) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 5

В-1 Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением ||x| + ||y|-3| - 3| = 1.

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 3

Решите неравенство operatorname{tg}arccos x≤ sinoperatorname{arctg}x.

Очень сложная

Алгебра