Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 8
В-1 При каких значениях параметра множество решений неравенства
(относительно неизвестной ) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Ответ: При .
Решение. Пусть . Тогда неравенство принимает вид
Последнее неравенство равносильно совокупности
Число имеет тот же знак, что выражение , поэтому последняя совокупность может быть переписана в виде
Разобьём область допустимых значений переменных для исходного неравенства, которая задаётся условиями , , , , на четыре области:
В области I вторая система совокупности решений не имеет, а первая равносильна двойному неравенству .
В области II первая система совокупности решений не имеет, а вторая равносильна совокупности неравенств , .
В области III вторая система совокупности решений не имеет, а первая равносильна двойному неравенству .
В области IV первая система совокупности решений не имеет, а вторая равносильна совокупности неравенств , .
Пусть , . Функция имеет минимум в точке , убывает слева от неё и возрастает справа от неё. Функция имеет максимум в точке , возрастает слева от неё и убывает справа от неё. Кроме того, , , . Отсюда следует, что при множество решений неравенства представляет собой объединение интервала и луча, при - объединение двух интервалов и луча, при - объединение двух интервалов, при - объединение точки и не содержащего её полуинтервала, при - один интервал.
Для большей наглядности рассуждений из предыдущего абзаца изобразим графики функций и в осях .
Критерии проверки: Верное рассуждение, учитывающее различное поведение неравенства при всех значениях параметров , но испорченное арифметической ошибкой в выкладках . Совершена попытка преобразовать выражение, но совершены неравносильные переходы (например, не обращается внимание на величину основания логарифма, больше она или меньше) . КРИТЕРИИ УТОЧНЯЮТСЯ ПО ХОДУ ПРОВЕРКИ.